Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} e^{- 2 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

Passaggio 1.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 2.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Passaggio 5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola $e^{u}$ per $- 2$ e per $0$ .

$- \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 6.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1)$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{2} \cdot (e^{- 2} - 1)$

Forma decimale:

$0.43233235 \dots$