Calcolo Esempi

$\int \frac{\ln (\sqrt{x})}{x} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{2 x} d x$ , quindi $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 x} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\ln (\sqrt{x})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]$

Passaggio 1.1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.3.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.1.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.1.6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.1.8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 1.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.10

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.1.11

Moltiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 1.1.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.12.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.12.2

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.13

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.1.13.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1.13.1.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.1.13.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.13.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Passaggio 1.1.13.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.1.13.1.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1}}$

Passaggio 1.1.13.2

Semplifica $2 x^{1}$ .

$\frac{1}{2 x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ come $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 4.2

Riscrivi $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ come $1 {u_{2}}^{2} + C$ .

$1 {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 4.3

Moltiplica ${u_{2}}^{2}$ per $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\ln (\sqrt{x})$ .

$\ln^{2} (\sqrt{x}) + C$