Calcolo Esempi

$\int (\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) d x$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1.2

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ per $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}} d x$

Passaggio 1.2.2

Sposta $\sqrt{x}$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})} d x$

Passaggio 1.2.3

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})} d x$

Passaggio 1.2.4

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})} d x$

Passaggio 1.2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}} d x$

Passaggio 1.2.6

Somma $1$ e $1$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}} d x$

Passaggio 1.2.7

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Passaggio 1.2.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x$

Passaggio 1.2.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} d x$

Passaggio 1.2.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} d x$

Passaggio 1.2.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x^{1}} d x$

Passaggio 1.2.7.5

Semplifica.

$\int \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int (\sqrt{\frac{u_{1}}{2}} + \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{\frac{u_{1}}{2}} + \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int \sqrt{\frac{u_{1}}{2}} d u_{1} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 5

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , quindi $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $\frac{u_{1}}{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\int \sqrt{u_{2}} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\int \sqrt{u_{2}} (1 \cdot 2) d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (\int \sqrt{u_{2}} \cdot 2 d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 6.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\int 2 \sqrt{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (2 \int \sqrt{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 8

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{2}}$ come ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 10

$\frac{2}{3}$ e ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 11

Sia $u_{3} = \frac{u_{1}}{2}$ . Allora $d u_{3} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , quindi $2 d u_{3} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sia $u_{3} = \frac{u_{1}}{2}$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Differenzia $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Passaggio 11.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $\frac{u_{1}}{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{3})$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} (1 \cdot 2) d u_{3})$

Passaggio 12.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} \cdot 2 d u_{3})$

Passaggio 12.1.3

$\frac{\sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}} \cdot 2}{2 u_{3}} d u_{3})$

Passaggio 12.1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u_{3}}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{2 \cdot \sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} d u_{3})$

Passaggio 12.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{2 \sqrt{u_{3}}}{2 u_{3}} d u_{3})$

Passaggio 12.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{\sqrt{u_{3}}}{u_{3}} d u_{3})$

Passaggio 12.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{3}}$ come ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}}{u_{3}} d u_{3})$

Passaggio 12.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Sposta ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{3})$

Passaggio 12.3.2

Moltiplica $u_{3}$ per ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1

Moltiplica $u_{3}$ per ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1.1

Eleva $u_{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{3})$

Passaggio 12.3.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{3})$

Passaggio 12.3.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{3})$

Passaggio 12.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{3})$

Passaggio 12.3.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int \frac{1}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}} d u_{3})$

Passaggio 12.4

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Sposta ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{3})$

Passaggio 12.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{3})$

Passaggio 12.4.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{3})$

Passaggio 12.4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Passaggio 13

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{3}$ è $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica.

$\frac{1}{2} (\frac{4 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 14.2

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 15

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {(\frac{u_{1}}{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 15.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {(\frac{u_{1}}{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 {(\frac{u_{1}}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 15.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 16.1.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 16.1.2

$\frac{4}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 16.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 16.1.3.2

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 16.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 16.3

Combina.

$\frac{1 (4 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 16.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 (4 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (2 (x^{\frac{1}{2}})) + C$

Passaggio 16.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (4 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 16.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (4 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 16.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.1

Scomponi $2$ da $1 (4 x^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{2 (1 (2 x^{\frac{3}{2}}))}{2 \cdot 3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 16.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 (2 x^{\frac{3}{2}}))}{2 (3)} + x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 16.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (1 (2 x^{\frac{3}{2}}))}{2 \cdot 3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 16.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 16.5.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + x^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 17

Riordina i termini.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + C$