Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} {(2 t + 1)}^{3} d t$

Passaggio 1

Sia $u = 2 t + 1$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 2 t + 1$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $t$ in $u = 2 t + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $t$ in $u = 2 t + 1$ .

$u_{upper} = 2 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 (\frac{1}{2}) + 1$

Passaggio 1.5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{2} u^{3} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$u^{3}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{3}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{2}$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Calcola $\frac{1}{4} u^{4}$ per $2$ e per $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 5.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

$\frac{1}{4}$ e $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune di $16$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 5.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 5.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 5.3.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Passaggio 5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4})$

Passaggio 5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

Passaggio 5.5.2

$4$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

Passaggio 5.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

Passaggio 5.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{16 - 1}{4}$

Passaggio 5.5.4.2

Sottrai $1$ da $16$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4}$

Passaggio 5.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{2 \cdot 4}$

Passaggio 5.6.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{15}{8}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{15}{8}$

Forma decimale:

$1.875$

Forma numero misto:

$1 \frac{7}{8}$