Calcolo Esempi

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{1}{x}$ . Allora $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , quindi $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{1}{x}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - \sec^{2} (u) d u$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \sec^{2} (u) d u$

Passaggio 3

Poiché la derivata di $\tan (u)$ è $\sec^{2} (u)$ , l'integrale di $\sec^{2} (u)$ è $\tan (u)$ .

$- (\tan (u) + C)$

Passaggio 4

Semplifica.

$- \tan (u) + C$

Passaggio 5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$- \tan (\frac{1}{x}) + C$