Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'espressione usando gli esponenti.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 9 x^{2}}} d x$

Passaggio 1.2

Riscrivi $9 x^{2}$ come ${(3 x)}^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(3 x)}^{2}}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 (\frac{1}{6})$

Passaggio 2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.5.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 (2)}$

Passaggio 2.5.2

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 \cdot 2}$

Passaggio 2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ rispetto a $u$ è $\arcsin (u)$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5

Calcola $\arcsin (u)$ per $\frac{1}{2}$ e per $0$ .

$\frac{1}{3} (\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (0))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} - \arcsin (0))$

Passaggio 6.1.2

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} - 0)$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} + 0)$

Passaggio 6.2

Somma $\frac{π}{6}$ e $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{π}{6}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\frac{1}{3} \cdot \frac{π}{6}$ .

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{3 \cdot 6}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $3$ per $6$ .

$\frac{π}{18}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π}{18}$

Forma decimale:

$0.17453292 \dots$

Passaggio 8