Calcolo Esempi

$\int e^{2 x} {(1 + 3 e^{2 x})}^{5} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = 1 + 3 e^{2 x}$ . Allora $d u_{2} = 6 e^{2 x} d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = 1 + 3 e^{2 x}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + 3 e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 3 e^{2 x}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 3 e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{2 x}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 e^{2 x}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 + 3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$0 + 3 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 3 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Passaggio 1.1.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 + 3 (e^{2 x} \cdot 2)$

Passaggio 1.1.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$0 + 3 (2 \cdot e^{2 x})$

Passaggio 1.1.3.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$0 + 6 e^{2 x}$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $6 e^{2 x}$ .

$6 e^{2 x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{5} \frac{1}{6} d u_{2}$

Passaggio 2

${u_{2}}^{5}$ e $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{{u_{2}}^{5}}{6} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} \int {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{5}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\frac{1}{6} (\frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C)$ come $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C$ come $\frac{1}{36} {u_{2}}^{6} + C$ .

$\frac{1}{36} {u_{2}}^{6} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + 3 e^{2 x}$ .

$\frac{1}{36} {(1 + 3 e^{2 x})}^{6} + C$