Calcolo Esempi

$\int x \sin (2 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{u}{2} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{u}{2}$ e $\sin (u)$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{2} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{u \sin (u)}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{2 \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int \frac{u \sin (u)}{4} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int u \sin (u) d u$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = u$ e $dv = \sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\int \cos (u) d u$ per $1$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Passaggio 7

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Passaggio 8

Riscrivi $\frac{1}{4} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ come $\frac{1}{4} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{4} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{4} (- (2 x) \cos (2 x) + \sin (2 x)) + C$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} (- 2 x \cos (2 x) + \sin (2 x)) + C$

Passaggio 10.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} (- 2 x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Passaggio 10.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (- 2 x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Passaggio 10.3.2

Scomponi $2$ da $- 2 x \cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (- x \cos (2 x))) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Passaggio 10.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- x \cos (2 x))) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Passaggio 10.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (- x \cos (2 x)) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Passaggio 10.4

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Passaggio 10.5

$\cos (2 x)$ e $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Passaggio 10.6

$\frac{1}{4}$ e $\sin (2 x)$ .

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Passaggio 10.7

Riordina i fattori in $- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$