Calcolo Esempi

$\int \frac{2 r}{{(1 - r)}^{7}} d r$

Passaggio 1

Sia $u = 1 - r$ . Allora $d u = - d r$ , quindi $- d u = d r$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 - r$ . Trova $\frac{d u}{d r}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - r$ .

$\frac{d}{d r} [1 - r]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - r$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r]$ .

$\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $1$ rispetto a $r$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [- r]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d r} [- r]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $- r$ rispetto a $r$ è $- \frac{d}{d r} [r]$ .

$0 - \frac{d}{d r} [r]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- (2 \int \frac{- u + 1}{u^{7}} d u)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \int \frac{- u + 1}{u^{7}} d u$

Passaggio 5.2

Sposta $u^{7}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- 2 \int (- u + 1) {(u^{7})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{7})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int (- u + 1) u^{7 \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$- 2 \int (- u + 1) u^{- 7} d u$

Passaggio 6

Moltiplica $(- u + 1) u^{- 7}$ .

$- 2 \int - u \cdot u^{- 7} + 1 u^{- 7} d u$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $u$ per $u^{- 7}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.1.1

Sposta $u^{- 7}$ .

$- 2 \int - (u^{- 7} u) + 1 u^{- 7} d u$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $u^{- 7}$ per $u$ .

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Passaggio 7.1.2.1

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$- 2 \int - (u^{- 7} u^{1}) + 1 u^{- 7} d u$

Passaggio 7.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 \int - u^{- 7 + 1} + 1 u^{- 7} d u$

Passaggio 7.1.3

Somma $- 7$ e $1$ .

$- 2 \int - u^{- 6} + 1 u^{- 7} d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica $u^{- 7}$ per $1$ .

$- 2 \int - u^{- 6} + u^{- 7} d u$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- 2 (\int - u^{- 6} d u + \int u^{- 7} d u)$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- 2 (- \int u^{- 6} d u + \int u^{- 7} d u)$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 6}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5} u^{- 5} + C) + \int u^{- 7} d u)$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

$u^{- 5}$ e $\frac{1}{5}$ .

$- 2 (- (- \frac{u^{- 5}}{5} + C) + \int u^{- 7} d u)$

Passaggio 11.2

Sposta $u^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) + \int u^{- 7} d u)$

Passaggio 12

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 7}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{6} u^{- 6}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{1}{6} u^{- 6} + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

$u^{- 6}$ e $\frac{1}{6}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{u^{- 6}}{6} + C)$

Passaggio 13.1.2

Sposta $u^{- 6}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{1}{6 u^{6}} + C)$

Passaggio 13.2

Semplifica.

$- 2 (\frac{1}{5 u^{5}} - \frac{1}{6 u^{6}}) + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - r$ .

$- 2 (\frac{1}{5 {(1 - r)}^{5}} - \frac{1}{6 {(1 - r)}^{6}}) + C$