Calcolo Esempi

$\int_{0}^{π} \sec^{2} (\frac{t}{4}) d t$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{t}{4}$ . Allora $d u = \frac{1}{4} d t$ , quindi $4 d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{t}{4}$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{t}{4}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{4}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{t}{4}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $t$ in $u = \frac{t}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{4}$

Passaggio 1.3

Dividi $0$ per $4$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $t$ in $u = \frac{t}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Passaggio 1.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Passaggio 1.6

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) (1 \cdot 4) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \cdot 4 d u$

Passaggio 2.3

Sposta $4$ alla sinistra di $\sec^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sec^{2} (u) d u$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $u$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u$

Passaggio 4

Poiché la derivata di $\tan (u)$ è $\sec^{2} (u)$ , l'integrale di $\sec^{2} (u)$ è $\tan (u)$ .

$4 (\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola $\tan (u)$ per $\frac{π}{4}$ e per $0$ .

$4 ((\tan (\frac{π}{4})) - \tan (0))$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$4 (1 - \tan (0))$

Passaggio 5.2.2

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$4 (1 - 0)$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$4 (1 + 0)$

Passaggio 5.2.4

Somma $1$ e $0$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$