Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (2 x) \cos (2 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \sin (2 x)$ . Allora $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \sin (2 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{6})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Passaggio 1.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Passaggio 1.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 1.3.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2})$

Passaggio 1.5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \sin (π)$

Passaggio 1.5.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$u_{upper} = \sin (0)$

Passaggio 1.5.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} {u_{2}}^{5} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 2

${u_{2}}^{5}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} \frac{{u_{2}}^{5}}{2} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{5}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} {u_{2}}^{6}]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Calcola $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ per $0$ e per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 0^{6}) - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Passaggio 5.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 0 - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Passaggio 5.2.3

Sottrai $\frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$ da $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$- \frac{1}{12} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{12} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Forma decimale:

$- 0.03515625$