Calcolo Esempi

$\int \ln (2 x + 1) d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x + 1$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \ln (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$\ln (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\ln (u)}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \ln (u) d u$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = \ln (u)$ e $dv = 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$u$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $u$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int d u)$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - (u + C))$

Passaggio 7

Semplifica.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - u) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x + 1)) + C$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x) - 1 \cdot 1) + C$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1 \cdot 1) + C$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1) + C$

Passaggio 9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

$\ln (2 x + 1)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Passaggio 9.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Passaggio 9.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

Passaggio 9.3.3

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{- 1}{2} + C$

Passaggio 9.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x) + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

Passaggio 9.4.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

Passaggio 9.4.3

Moltiplica $\frac{\ln (2 x + 1)}{2}$ per $1$ .

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Passaggio 9.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Passaggio 9.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (2 x + 1) x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Passaggio 9.4.5

Per scrivere $\ln (2 x + 1) x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Passaggio 9.4.6

$\ln (2 x + 1) x$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Passaggio 9.4.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Passaggio 9.4.8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.4.8.1

Scomponi $\ln (2 x + 1)$ da $\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)$ .

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Passaggio 9.4.8.1.1

Scomponi $\ln (2 x + 1)$ da $\ln (2 x + 1) x \cdot 2$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Passaggio 9.4.8.1.2

Moltiplica per $1$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Passaggio 9.4.8.1.3

Scomponi $\ln (2 x + 1)$ da $\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2 + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Passaggio 9.4.8.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

Passaggio 9.4.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x - \frac{1}{2} + C$

Passaggio 9.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- x + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1}{2} + C$

Passaggio 10

Riordina i termini.

$- x + \frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1) + C$