Calcolo Esempi

$\int \frac{40 x^{3}}{{(5 x^{4} + 3)}^{4}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 5 x^{4} + 3$ . Allora $d u = 20 x^{3} d x$ , quindi $\frac{1}{20 x^{3}} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 5 x^{4} + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $5 x^{4} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} + 3]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$20 x^{3} + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $20 x^{3}$ e $0$ .

$20 x^{3}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{2}{u^{4}} d u$

Passaggio 2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Passaggio 3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.1

Sposta $u^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$2 \int u^{- 4} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 4}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$2 (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

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Passaggio 5.1.1

$u^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$2 (- \frac{u^{- 3}}{3} + C)$

Passaggio 5.1.2

Sposta $u^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$

Passaggio 5.2

Semplifica.

$2 (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Passaggio 5.3.2

$- 2$ e $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{- 2}{3 u^{3}} + C$

Passaggio 5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{3 u^{3}} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x^{4} + 3$ .

$- \frac{2}{3 {(5 x^{4} + 3)}^{3}} + C$