Calcolo Esempi

$\int x {(4 x + 5)}^{3} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 4 x + 5$ . Allora $d u = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 4 x + 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $4 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $4$ e $0$ .

$4$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (\frac{u}{4} - \frac{5}{4}) u^{3} \frac{1}{4} d u$

Passaggio 2

$\frac{1}{4}$ e $u^{3}$ .

$\int (\frac{u}{4} - \frac{5}{4}) \frac{u^{3}}{4} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{u}{4}$ per $\frac{u^{3}}{4}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{3}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Passaggio 3.3

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{3}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Passaggio 3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{u^{1 + 3}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Passaggio 3.5

Somma $1$ e $3$ .

$\int \frac{u^{4}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Passaggio 3.6

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\int \frac{u^{4}}{16} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Passaggio 3.7

$- \frac{5}{4}$ e $\frac{u^{3}}{4}$ .

$\int \frac{u^{4}}{16} - \frac{5 u^{3}}{4 \cdot 4} d u$

Passaggio 3.8

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\int \frac{u^{4}}{16} - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{u^{4}}{16} d u + \int - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{16}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{16}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{16} \int u^{4} d u + \int - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Passaggio 8

Poiché $\frac{5}{16}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{5}{16}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (\frac{5}{16} \int u^{3} d u)$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \frac{5}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{5} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 10.2

Riscrivi $\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{5} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ come $\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Passaggio 10.3

Semplifica.

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Passaggio 10.3.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{5}{16}$ .

$\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{4 \cdot 16} u^{4} + C$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $4$ per $16$ .

$\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{64} u^{4} + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x + 5$ .

$\frac{1}{80} {(4 x + 5)}^{5} - \frac{5}{64} {(4 x + 5)}^{4} + C$