Calcolo Esempi

$\int \frac{4 x^{2}}{\sqrt[3]{4 x^{3} + 5}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 4 x^{3} + 5$ . Allora $d u = 12 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 4 x^{3} + 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $4 x^{3} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 5]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x^{2} + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $12 x^{2}$ e $0$ .

$12 x^{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{4}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{12} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt[3]{u}}$ per $\frac{1}{12}$ .

$\int \frac{4}{\sqrt[3]{u} \cdot 12} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $12$ alla sinistra di $\sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{4}{12 \cdot \sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\int \frac{4 (1)}{12 \sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Scomponi $4$ da $12 \sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{4 (1)}{4 (3 \sqrt[3]{u})} d u$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{4 \cdot 1}{4 (3 \sqrt[3]{u})} d u$

Passaggio 2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $u^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.3.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ come $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 6.2

Riscrivi $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ come $\frac{1}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{3} + 5$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{2}{3}} + C$