Calcolo Esempi

$\int \sin^{5} (3 x) \cos (3 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \sin (3 x)$ . Allora $d u_{2} = 3 \cos (3 x) d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = \cos (3 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \sin (3 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sin (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (3 x) (3 \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\cos (3 x) \cdot 3$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (3 x)$ .

$3 \cos (3 x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{5} \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 2

${u_{2}}^{5}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{{u_{2}}^{5}}{3} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{5}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\frac{1}{3} (\frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C)$ come $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} {u_{2}}^{6} + C$ come $\frac{1}{18} {u_{2}}^{6} + C$ .

$\frac{1}{18} {u_{2}}^{6} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (3 x)$ .

$\frac{1}{18} \sin^{6} (3 x) + C$