Calcolo Esempi

$\int_{1}^{e^{8}} \frac{\ln^{2} (x^{2})}{x} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \ln (x^{2})$ . Allora $d u_{2} = \frac{2}{x} d x$ , quindi $- d u_{2} = \frac{- 2}{x} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \ln (x^{2})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 1.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.1.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Passaggio 1.1.3.2.2

$\frac{2}{x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.3

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.3.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Passaggio 1.1.3.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Passaggio 1.1.3.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{x}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{2} = \ln (x^{2})$ .

$u_{lower} = \ln (1^{2})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = \ln (1)$

Passaggio 1.3.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{2} = \ln (x^{2})$ .

$u_{upper} = \ln ({(e^{8})}^{2})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{8})}^{2}$ .

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Passaggio 1.5.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \ln (e^{8 \cdot 2})$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $8$ per $2$ .

$u_{upper} = \ln (e^{16})$

Passaggio 1.5.2

Usa le regole del logaritmo per togliere $16$ dall'esponente.

$u_{upper} = 16 \ln (e)$

Passaggio 1.5.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$u_{upper} = 16 \cdot 1$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica $16$ per $1$ .

$u_{upper} = 16$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{16} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{16} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{16}$

Passaggio 4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.1

Calcola $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ per $16$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 16^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.2

Eleva $16$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4096 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.3

$\frac{1}{3}$ e $4096$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 4.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.4.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Passaggio 4.4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.4.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

Passaggio 4.4.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0)$

Passaggio 4.4.3

Somma $\frac{4096}{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4096}{3}$

Passaggio 4.4.4

Semplifica.

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Passaggio 4.4.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{4096}{3}$ .

$\frac{4096}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.4.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{4096}{6}$

Passaggio 4.4.4.3

Elimina il fattore comune di $4096$ e $6$ .

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Passaggio 4.4.4.3.1

Scomponi $2$ da $4096$ .

$\frac{2 (2048)}{6}$

Passaggio 4.4.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.4.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.4.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2048}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2048}{3}$

Forma decimale:

$682.\overline{6}$

Forma numero misto:

$682 \frac{2}{3}$