Calcolo Esempi

$\int \frac{9 x {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 6 x^{2} + 5$ . Allora $d u = 12 x d x$ , quindi $\frac{1}{12} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 6 x^{2} + 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $6 x^{2} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 5]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $12 x$ e $0$ .

$12 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{9 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{12} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{9 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ per $\frac{1}{12}$ .

$\int \frac{9 u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 12} d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2$ per $12$ .

$\int \frac{9 u^{\frac{1}{2}}}{24} d u$

Passaggio 2.3

Scomponi $3$ da $9 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{3 (3 u^{\frac{1}{2}})}{24} d u$

Passaggio 2.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.4.1

Scomponi $3$ da $24$ .

$\int \frac{3 (3 u^{\frac{1}{2}})}{3 (8)} d u$

Passaggio 2.4.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{3 (3 u^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 8} d u$

Passaggio 2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{8} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{3}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{3}{8}$ fuori dall'integrale.

$\frac{3}{8} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{8} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\frac{3}{8} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ come $\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ come $\frac{1}{4} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{4} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x^{2} + 5$ .

$\frac{1}{4} {(6 x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} + C$