Calcolo Esempi

$\int_{1}^{3} \frac{e^{\frac{3}{x}}}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{3}{x}$ . Allora $d u = - \frac{3}{x^{2}} d x$ , quindi $1 d u = - \frac{3}{x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{3}{x}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.1.3

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2})$

Passaggio 1.1.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 x^{- 2}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.6.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.2.1

$- 3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.6.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \frac{3}{x}$ .

$u_{lower} = \frac{3}{1}$

Passaggio 1.3

Dividi $3$ per $1$ .

$u_{lower} = 3$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \frac{3}{x}$ .

$u_{upper} = \frac{3}{3}$

Passaggio 1.5

Dividi $3$ per $3$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{3}^{1} - \frac{1}{3} e^{u} d u$

Passaggio 2

Poiché $- \frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- \frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{3} \int_{3}^{1} e^{u} d u$

Passaggio 3

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} e^{u}]_{3}^{1}$

Passaggio 4

Calcola $e^{u}$ per $1$ e per $3$ .

$- \frac{1}{3} ((e^{1}) - e^{3})$

Passaggio 5

Semplifica.

$- \frac{1}{3} (e - e^{3})$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{3} \cdot (e - e^{3})$

Forma decimale:

$5.78908503 \dots$