Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{1 + \cos (x)} d x$

Passaggio 1

Usa l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (x)$ in $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 2

Usa l'identità pitagorica per trasformare $1$ in $\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Sottrai ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ da ${\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

Passaggio 3.2

Somma ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ e ${\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 0} d x$

Passaggio 3.3

Somma $2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ e $0$ .

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 4

Moltiplica l'argomento per $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 5

Combina.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 6

Moltiplica ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ per $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Passaggio 7

Riscrivi $\sec (\frac{x}{2})$ in termini di seno e coseno.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

Passaggio 8

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 8.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

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Passaggio 8.2.1

Scomponi $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ da $2 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Passaggio 8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Passaggio 8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1^{2}} d x$

Passaggio 8.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2 \cdot 1} d x$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} d x$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Passaggio 10

Sia $u = \frac{x}{2}$ . Allora $d u = \frac{1}{2} d x$ , quindi $2 d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 10.1

Sia $u = \frac{x}{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 10.1.1

Differenzia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 10.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Passaggio 11.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

Passaggio 11.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u) d u$

Passaggio 12

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u) d u)$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Passaggio 13.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \sec^{2} (u) d u$

Passaggio 13.3

Moltiplica $\int \sec^{2} (u) d u$ per $1$ .

$\int \sec^{2} (u) d u$

Passaggio 14

Poiché la derivata di $\tan (u)$ è $\sec^{2} (u)$ , l'integrale di $\sec^{2} (u)$ è $\tan (u)$ .

$\tan (u) + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$\tan (\frac{x}{2}) + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$\tan (\frac{1}{2} x) + C$