Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{x^{3}} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} d x$

Passaggio 1

$\frac{1}{x^{3}}$ e $\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ .

$\int \frac{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ . Allora $d u_{2} = \frac{2}{x^{3}} d x$ , quindi $- d u_{2} = \frac{- 2}{x^{3}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $1 - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \frac{1}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.1.3.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.1.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$0 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.1.3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.1.3.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$0 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.1.3.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.1.3.10

Sottrai $4$ da $1$ .

$0 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.1.3.11

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$0 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.1.3.12

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $0$ .

$0 + 2 x^{- 3} + 0$

Passaggio 2.1.3.13

Somma $2 x^{- 3}$ e $0$ .

$0 + 2 x^{- 3}$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 2.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1

$2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$0 + \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 2.1.4.2.2

Somma $0$ e $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2} \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{2}}$ come ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$ come $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2

Riscrivi $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ come $\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{3} {(1 - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{3}{2}} + C$