Calcolo Esempi

$\int_{- 1}^{1} 3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 5} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{3} + 5$ . Allora $d u = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{3} + 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{3} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{3} + 5$ .

$u_{lower} = {(- 1)}^{3} + 5$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$u_{lower} = - 1 + 5$

Passaggio 1.3.2

Somma $- 1$ e $5$ .

$u_{lower} = 4$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{3} + 5$ .

$u_{upper} = 1^{3} + 5$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 + 5$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $5$ .

$u_{upper} = 6$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 6$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{4}^{6} \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{6} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{6}$

Passaggio 4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $6$ e per $4$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2

$\frac{2}{3}$ e $6^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.3.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 4.3.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 4.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

Passaggio 4.3.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

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Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 (\frac{2}{3})$

Passaggio 4.3.2.2

$- 8$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 16}{3}$

Passaggio 4.3.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3}$

Forma decimale:

$4.46462563 \dots$