Calcolo Esempi

$\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc (π A) \cot (π A) d A$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \csc (π A)$ . Allora $d u_{2} = - π \cot (π A) \csc (π A) d A$ , quindi $- \frac{1}{π} d u_{2} = \cot (π A) \csc (π A) d A$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \csc (π A)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d A}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\csc (π A)$ .

$\frac{d}{d A} [\csc (π A)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ è $f' (g (A)) g' (A)$ dove $f (A) = \csc (A)$ e $g (A) = π A$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $π A$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d A} [π A]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\csc (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d A} [π A]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $π A$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) \frac{d}{d A} [π A]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $π$ è costante rispetto a $A$ , la derivata di $π A$ rispetto a $A$ è $π \frac{d}{d A} [A]$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \frac{d}{d A} [A])$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ è $n A^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \cdot 1)$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) π$

Passaggio 1.1.3.3.2

Riordina i fattori di $- \csc (π A) \cot (π A) π$ .

$- π \cot (π A) \csc (π A)$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $A$ in $u_{2} = \csc (π A)$ .

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

$π$ e $\frac{1}{6}$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Passaggio 1.3.2

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{6})$ è $2$ .

$u_{lower} = 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $A$ in $u_{2} = \csc (π A)$ .

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

$π$ e $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.5.2

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{2}^{1} - \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Passaggio 2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{π} d u_{2}$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{π} u_{2}]_{2}^{1}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Calcola $- \frac{1}{π} u_{2}$ per $1$ e per $2$ .

$(- \frac{1}{π} \cdot 1) + \frac{1}{π} \cdot 2$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{π} + \frac{1}{π} \cdot 2$

Passaggio 4.3

$\frac{1}{π}$ e $2$ .

$- \frac{1}{π} + \frac{2}{π}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

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Passaggio 4.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 + 2}{π}$

Passaggio 4.4.2

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{π}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{π}$

Forma decimale:

$0.31830988 \dots$