Calcolo Esempi

$\int \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 1.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 1.4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 1.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Allora $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , quindi $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = - x^{\frac{1}{2}}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 2.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 2.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.1.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 2.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 2.1.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.1.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - 1 \cdot 2 e^{u} d u$

Passaggio 3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\int - 2 e^{u} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$- 2 \int e^{u} d u$

Passaggio 5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- 2 (e^{u} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

$- 2 e^{u} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 e^{- x^{\frac{1}{2}}} + C$