Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$2 {\ln (x)}^{\frac{1}{2}} + C$