Calcolo Esempi

$\int 5 \sqrt{5 x - 1 d x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 5 x - 1 d x$ . Allora $d u = (- d + 5) d x$ , quindi $\frac{1}{- d + 5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 5 x - 1 d x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $5 x - 1 d x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 1 d x]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x - 1 d x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1 d x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1 d x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1 d x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1 d x]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 1 d x]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 1 d x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Riscrivi $- 1 d$ come $- d$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- d x]$

Passaggio 1.1.4.2

Poiché $- d$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- d x$ rispetto a $x$ è $- d \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 - d \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 - d \cdot 1$

Passaggio 1.1.4.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$5 - d$

Passaggio 1.1.5

Riordina i termini.

$- d + 5$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 5 \sqrt{u} \frac{1}{- d + 5} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{- d + 5}$ e $5$ .

$\int \frac{5}{- d + 5} \sqrt{u} d u$

Passaggio 2.2

$\frac{5}{- d + 5}$ e $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{5 \sqrt{u}}{- d + 5} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{5}{- d + 5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{5}{- d + 5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{5}{- d + 5} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{- d + 5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5}{- d + 5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{5}{- d + 5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ come $\frac{5}{- d + 5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{5}{- d + 5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2

Riscrivi $\frac{5}{- d + 5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ come $\frac{10}{(- d + 5) \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{10}{(- d + 5) \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $- d + 5$ .

$\frac{10}{3 \cdot (- d + 5)} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.3.2

$\frac{10}{3 (- d + 5)}$ e $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{10 u^{\frac{3}{2}}}{3 (- d + 5)} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x - 1 d x$ .

$\frac{10 {(5 x - 1 d x)}^{\frac{3}{2}}}{3 (- d + 5)} + C$