Calcolo Esempi

$\int x^{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 - x^{2}$ . Allora $d u = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 - x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int {\sqrt{- u + 1}}^{2} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ come $- u + 1$ .

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Passaggio 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- u + 1}$ come ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int {(- u + 1)}^{1} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.1.5

Semplifica.

$\int (- u + 1) u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int (- u + 1) u^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 2.3

$u^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int (- u + 1) (- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}) d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int (- u + 1) (\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}) d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \int - u \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Passaggio 4.2

$- u$ e $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \int \frac{- u \cdot u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Passaggio 4.3

Metti in evidenza il valore negativo.

$- \int \frac{- (u \cdot u^{\frac{3}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Passaggio 4.4

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$- \int \frac{- (u^{1} u^{\frac{3}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Passaggio 4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \int \frac{- u^{1 + \frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Passaggio 4.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \int \frac{- u^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Passaggio 4.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \int \frac{- u^{\frac{2 + 3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Passaggio 4.8

Somma $2$ e $3$ .

$- \int \frac{- u^{\frac{5}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Passaggio 4.9

Moltiplica $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}$ per $1$ .

$- \int \frac{- u^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Passaggio 5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- (\int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- (- \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (- (\frac{1}{2} \int u^{\frac{5}{2}} d u) + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Passaggio 10

$\frac{2}{7}$ e $u^{\frac{7}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Passaggio 12

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

$\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Passaggio 13.2

Semplifica.

$- (- \frac{u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$- (- \frac{1}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x^{2}$ .

$- (- \frac{1}{7} {(1 - x^{2})}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{5} {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$