Calcolo Esempi

$\int_{2}^{4} \frac{1}{5 - 3 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 5 - 3 x$ . Allora $d u = - 3 d x$ , quindi $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 5 - 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $5 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$0 - 3$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $3$ da $0$ .

$- 3$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 5 - 3 x$ .

$u_{lower} = 5 - 3 \cdot 2$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$u_{lower} = 5 - 6$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $6$ da $5$ .

$u_{lower} = - 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 5 - 3 x$ .

$u_{upper} = 5 - 3 \cdot 4$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$u_{upper} = 5 - 12$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $12$ da $5$ .

$u_{upper} = - 7$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 7$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\int_{- 1}^{- 7} - \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Passaggio 2.3

Sposta $3$ alla sinistra di $u$ .

$\int_{- 1}^{- 7} - \frac{1}{3 u} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{3 u} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{3} \int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| u |)]_{- 1}^{- 7}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\ln (| u |)$ per $- 7$ e per $- 1$ .

$- \frac{1}{3} ((\ln (| - 7 |)) - \ln (| - 1 |))$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{1}{3} \ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})$

Passaggio 6.2.2

$\ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})}{3}$

Passaggio 6.3

Semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 7$ e $0$ è $7$ .

$- \frac{\ln (\frac{7}{| - 1 |})}{3}$

Passaggio 6.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 1$ e $0$ è $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{7}{1})}{3}$

Passaggio 6.3.3

Dividi $7$ per $1$ .

$- \frac{\ln (7)}{3}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{\ln (7)}{3}$

Forma decimale:

$- 0.64863671 \dots$