Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} 2 x {(x^{2} + 1)}^{2} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{2} u^{2} d u$

Passaggio 2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$

Passaggio 3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.1

Calcola $\frac{1}{3} u^{3}$ per $2$ e per $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{3}$ e $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica.

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Passaggio 3.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8 - 1}{3}$

Passaggio 3.4.3.2

Sottrai $1$ da $8$ .

$\frac{7}{3}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{7}{3}$

Forma decimale:

$2.\overline{3}$

Forma numero misto:

$2 \frac{1}{3}$