Calcolo Esempi

$\int \frac{3^{2 x}}{1 + 3^{2 x}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{3^{u_{1}}}{(1 + 3^{u_{1}}) \cdot 2} d u_{1}$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $1 + 3^{u_{1}}$ .

$\int \frac{3^{u_{1}}}{2 (1 + 3^{u_{1}})} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}} d u_{1}$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = 1 + 3^{u_{1}}$ . Allora $d u_{2} = 3^{u_{1}} \ln (3) d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{\ln (3)} d u_{2} = 3^{u_{1}} d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{2} = 1 + 3^{u_{1}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $1 + 3^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + 3^{u_{1}}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

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Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 3^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $1$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $3$ .

$0 + 3^{u_{1}} \ln (3)$

Passaggio 4.1.4

Somma $0$ e $3^{u_{1}} \ln (3)$ .

$3^{u_{1}} \ln (3)$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{\ln (3)} d u_{2}$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \ln (3)} d u_{2}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{\ln (3)}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{\ln (3)}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\ln (3)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{\ln (3)}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\ln (3) \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 7.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (3)$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 10

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + 3^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| 1 + 3^{u_{1}} |) + C$

Passaggio 10.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| 1 + 3^{2 x} |) + C$