Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x + 1}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 1.3

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 1.5

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{2} \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{2} (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Espandi $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{1}^{2} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int_{1}^{2} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{1}^{2} u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.6

Sottrai $1$ da $2$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{2} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2})$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $2$ e per $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2})$

Passaggio 8.2

Calcola $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $2$ e per $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

$\frac{2}{3}$ e $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.3.2.4

Somma $2$ e $3$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 8.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1)$

Passaggio 10.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2)$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Per scrivere $- (2^{\frac{3}{2}} - 2)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 11.2

$- (2^{\frac{3}{2}} - 2)$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} + \frac{- (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot 3}{3}$

Passaggio 11.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - (2^{\frac{3}{2}} - 2) \cdot 3}{3}$

Passaggio 11.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 (2^{\frac{3}{2}} - 2)}{3}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2 - 3 (2^{\frac{3}{2}} - 2)}{3}$

Forma decimale:

$0.39052429 \dots$