Calcolo Esempi

$\int (18 x^{2} + 3) {(6 x^{3} + 3 x)}^{6} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 6 x^{3} + 3 x$ . Allora $d u = (18 x^{2} + 3) d x$ , quindi $\frac{1}{18 x^{2} + 3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 6 x^{3} + 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $6 x^{3} + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} + 3 x]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{3} + 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{3}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $6$ .

$18 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$18 x^{2} + 3 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$18 x^{2} + 3$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{6} d u$

Passaggio 2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{6}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C$

Passaggio 3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x^{3} + 3 x$ .

$\frac{1}{7} {(6 x^{3} + 3 x)}^{7} + C$