Calcolo Esempi

$\int 4 x^{3} \sin (x^{4}) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2 x} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int 2 u_{1} \sin ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) d u_{1}$

Passaggio 2

Riscrivi ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ come ${u_{1}}^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 u_{1} \sin ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) d u_{1}$

Passaggio 2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2 u_{1} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) d u_{1}$

Passaggio 2.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\int 2 u_{1} \sin ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) d u_{1}$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

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Passaggio 2.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int 2 u_{1} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) d u_{1}$

Passaggio 2.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int 2 u_{1} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) d u_{1}$

Passaggio 2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int 2 u_{1} \sin ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) d u_{1}$

Passaggio 2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int 2 u_{1} \sin ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) d u_{1}$

Passaggio 2.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\int 2 u_{1} \sin ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int u_{1} \sin ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Allora $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 5

$\sin (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\sin (u_{2})}{2} d u_{2}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 7.3

Moltiplica $\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ per $1$ .

$\int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 8

L'integrale di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \cos (u_{2})$ .

$- \cos (u_{2}) + C$

Passaggio 9

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 9.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con ${u_{1}}^{2}$ .

$- \cos ({u_{1}}^{2}) + C$

Passaggio 9.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$- \cos ({(x^{2})}^{2}) + C$