Calcolo Esempi

$\int (2 x + 7) {(x^{2} + 7 x + 3)}^{\frac{4}{5}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} + 7 x + 3$ . Allora $d u = (2 x + 7) d x$ , quindi $\frac{1}{2 x + 7} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} + 7 x + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + 7 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x + 3]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 7 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $7$ per $1$ .

$2 x + 7 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 7 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $2 x + 7$ e $0$ .

$2 x + 7$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{\frac{4}{5}} d u$

Passaggio 2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{4}{5}}$ rispetto a $u$ è $\frac{5}{9} u^{\frac{9}{5}}$ .

$\frac{5}{9} u^{\frac{9}{5}} + C$

Passaggio 3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 7 x + 3$ .

$\frac{5}{9} {(x^{2} + 7 x + 3)}^{\frac{9}{5}} + C$