Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \csc (x) d x$

Passaggio 1

Non è stato possibile completare questo integrale usando il metodo del cambio di variabili. Mathway userà un metodo diverso.

Passaggio 2

L'integrale di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}}$

Passaggio 3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1

Calcola $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ per $\frac{3 π}{4}$ e per $\frac{π}{4}$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{4})$ è $\sqrt{2}$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |)$

Passaggio 3.2.2

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |)$

Passaggio 3.2.4

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cotangente è negativa nel secondo quadrante.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - \cot (\frac{π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Passaggio 3.3.2

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - (- 1 \cdot 1) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Passaggio 3.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.5.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Passaggio 3.3.5.2

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{4})$ è $\sqrt{2}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Passaggio 3.3.5.3

$\sqrt{2} + 1$ corrisponde approssimativamente a $2.41421356$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Passaggio 3.3.6

$\sqrt{2} - 1$ corrisponde approssimativamente a $0.41421356$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1})$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ per $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1})$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ per $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ .

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)})$

Passaggio 4.3

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2} - 1})$

Passaggio 4.4

Semplifica.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{1})$

Passaggio 4.5

Dividi $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)$ per $1$ .

$\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$

Passaggio 4.6

Riscrivi $\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$ come $\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$

Passaggio 4.7

Somma $\ln (\sqrt{2} + 1)$ e $\ln (\sqrt{2} + 1)$ .

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

Forma decimale:

$1.76274717 \dots$