Calcolo Esempi

\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} csc (x) d x

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \csc (x) d x$

Passaggio 1

Non è stato possibile completare questo integrale usando il metodo del cambio di variabili. Mathway userà un metodo diverso.

Passaggio 2

L'integrale di

csc (x)

$\csc (x)$ rispetto a

x

$x$ è

ln (| csc (x) - cot (x) |)

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

ln (| csc (x) - cot (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}}

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}}$

Passaggio 3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola

ln (| csc (x) - cot (x) |)

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ per

\frac{3 π}{4}

$\frac{3 π}{4}$ e per

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

ln (∣ ∣ ∣ csc (\frac{3 π}{4}) - cot (\frac{3 π}{4}) ∣ ∣ ∣) - ln (∣ ∣ csc (\frac{π}{4}) - cot (\frac{π}{4}) ∣ ∣)

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Il valore esatto di

csc (\frac{π}{4})

$\csc (\frac{π}{4})$ è

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ .

ln (∣ ∣ ∣ csc (\frac{3 π}{4}) - cot (\frac{3 π}{4}) ∣ ∣ ∣) - ln (∣ ∣ \sqrt{2} - cot (\frac{π}{4}) ∣ ∣)

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |)$

Passaggio 3.2.2

Il valore esatto di

cot (\frac{π}{4})

$\cot (\frac{π}{4})$ è

1

$1$ .

ln (∣ ∣ ∣ csc (\frac{3 π}{4}) - cot (\frac{3 π}{4}) ∣ ∣ ∣) - ln (∣ ∣ \sqrt{2} - 1 \cdot 1 ∣ ∣)

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

ln (∣ ∣ ∣ csc (\frac{3 π}{4}) - cot (\frac{3 π}{4}) ∣ ∣ ∣) - ln (∣ ∣ \sqrt{2} - 1 ∣ ∣)

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |)$

Passaggio 3.2.4

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi,

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

ln ⎛ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ csc (\frac{3 π}{4}) - cot (\frac{3 π}{4}) ∣ ∣}{∣ ∣ \sqrt{2} - 1 ∣ ∣} ⎞ ⎟ ⎠

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

ln ⎛ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ csc (\frac{3 π}{4}) - cot (\frac{3 π}{4}) ∣ ∣}{∣ ∣ \sqrt{2} - 1 ∣ ∣} ⎞ ⎟ ⎠

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cotangente è negativa nel secondo quadrante.

ln ⎛ ⎜ ⎝ \frac{∣ ∣ csc (\frac{3 π}{4}) - - cot (\frac{π}{4}) ∣ ∣}{∣ ∣ \sqrt{2} - 1 ∣ ∣} ⎞ ⎟ ⎠

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - \cot (\frac{π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Passaggio 3.3.2

Il valore esatto di

$\cot (\frac{π}{4})$ è

$1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - (- 1 \cdot 1) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Passaggio 3.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Passaggio 3.3.5.2

Il valore esatto di

$\csc (\frac{π}{4})$ è

$\sqrt{2}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Passaggio 3.3.5.3

$\sqrt{2} + 1$ corrisponde approssimativamente a

$2.41421356$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Passaggio 3.3.6

$\sqrt{2} - 1$ corrisponde approssimativamente a

$0.41421356$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1})$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ per

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1})$

Passaggio 4.2

Moltiplica

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ per

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ .

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)})$

Passaggio 4.3

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2} - 1})$

Passaggio 4.4

Semplifica.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{1})$

Passaggio 4.5

Dividi

$(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)$ per

$1$ .

$\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$

Passaggio 4.6

Riscrivi

$\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$ come

$\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$

Passaggio 4.7

Somma

$\ln (\sqrt{2} + 1)$ e

$\ln (\sqrt{2} + 1)$ .

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

Forma decimale:

$1.76274717 \dots$