Calcolo Esempi

$\int \frac{20 x^{3} + 8}{5 x^{4} + 8 x + 3} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 5 x^{4} + 8 x + 3$ . Allora $d u = (20 x^{3} + 8) d x$ , quindi $\frac{1}{20 x^{3} + 8} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 5 x^{4} + 8 x + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $5 x^{4} + 8 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} + 8 x + 3]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} + 8 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$20 x^{3} + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$20 x^{3} + 8 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.5.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$20 x^{3} + 8 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $20 x^{3} + 8$ e $0$ .

$20 x^{3} + 8$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Passaggio 3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x^{4} + 8 x + 3$ .

$\ln (| 5 x^{4} + 8 x + 3 |) + C$