Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 1.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 1.4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 1.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Allora $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , quindi $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 2.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 2.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 2.1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 2.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.1.8

Semplifica.

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Passaggio 2.1.8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.8.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = 0^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$u_{lower} = {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = 0^{1}$

Passaggio 2.3.4

Calcola l'esponente.

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(\frac{π^{2}}{4})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{π^{2}}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{{(π^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.5.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = \frac{π^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.5.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{π^{1}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica.

$u_{upper} = \frac{π}{4^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.5.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.5.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 2.5.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = \frac{π}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 2.5.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = \frac{π}{2^{1}}$

Passaggio 2.5.3.4

Calcola l'esponente.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin (u) d u$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$2 (- \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Passaggio 5

Calcola $- \cos (u)$ per $\frac{π}{2}$ e per $0$ .

$2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$2 (- 0 + \cos (0))$

Passaggio 6.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 (- 0 + 1)$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 (0 + 1)$

Passaggio 6.4

Somma $0$ e $1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$