Calcolo Esempi

$\int \frac{21 x^{2}}{4 {(x^{3} + 5)}^{\frac{5}{4}}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{3} + 5$ . Allora $d u = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{3} + 5$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{3} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{7}{4 u^{\frac{5}{4}}} d u$

Passaggio 2

Poiché $\frac{7}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{7}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{7}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{5}{4}}} d u$

Passaggio 3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.1

Sposta $u^{\frac{5}{4}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{7}{4} \int {(u^{\frac{5}{4}})}^{- 1} d u$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{5}{4}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{5}{4} \cdot - 1} d u$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $\frac{5}{4} \cdot - 1$ .

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Passaggio 3.2.2.1

$\frac{5}{4}$ e $- 1$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{5 \cdot - 1}{4}} d u$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{- 5}{4}} d u$

Passaggio 3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{7}{4} \int u^{- \frac{5}{4}} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{5}{4}}$ rispetto a $u$ è $- 4 u^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{7}{4} (- 4 u^{- \frac{1}{4}} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\frac{7}{4} (- 4 u^{- \frac{1}{4}} + C)$ come $\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$ .

$\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$ come $\frac{7}{4} \cdot \frac{- 4}{u^{\frac{1}{4}}} + C$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{- 4}{u^{\frac{1}{4}}} + C$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{7}{4} (- \frac{4}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $\frac{7}{4}$ per $\frac{4}{u^{\frac{1}{4}}}$ .

$- \frac{7 \cdot 4}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $7$ per $4$ .

$- \frac{28}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Passaggio 5.3.4

Scomponi $4$ da $28$ .

$- \frac{4 \cdot 7}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Passaggio 5.3.5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.3.5.1

Scomponi $4$ da $4 u^{\frac{1}{4}}$ .

$- \frac{4 \cdot 7}{4 (u^{\frac{1}{4}})} + C$

Passaggio 5.3.5.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4 \cdot 7}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Passaggio 5.3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{7}{u^{\frac{1}{4}}} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} + 5$ .

$- \frac{7}{{(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{4}}} + C$