Calcolo Esempi

$\int \frac{x}{\sqrt[4]{x + 2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x + 2$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{u - 2}{\sqrt[4]{u}} d u$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{u}$ come $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\int \frac{u - 2}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $u^{\frac{1}{4}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (u - 2) {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (u - 2) u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.2

$\frac{1}{4}$ e $- 1$ .

$\int (u - 2) u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Passaggio 2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int (u - 2) u^{- \frac{1}{4}} d u$

Passaggio 3

Espandi $(u - 2) u^{- \frac{1}{4}}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int u \cdot u^{- \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Passaggio 3.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{1} u^{- \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Passaggio 3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{1 - \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Passaggio 3.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int u^{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int u^{\frac{4 - 1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Passaggio 3.6

Sottrai $1$ da $4$ .

$\int u^{\frac{3}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{\frac{3}{4}} d u + \int - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{4}}$ rispetto a $u$ è $\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + C + \int - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + C - 2 \int u^{- \frac{1}{4}} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{4}}$ rispetto a $u$ è $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + C - 2 (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} - 2 (\frac{4}{3}) u^{\frac{3}{4}} + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

$- 2$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + \frac{- 2 \cdot 4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + \frac{- 8}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

Passaggio 8.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} - \frac{8}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2$ .

$\frac{4}{7} {(x + 2)}^{\frac{7}{4}} - \frac{8}{3} {(x + 2)}^{\frac{3}{4}} + C$