Calcolo Esempi

$(\int x^{2} \ln (x^{2} + 1) d x)$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = x^{2} + 1$ . Allora $d u_{1} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{u_{1} - 1} \ln (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{u_{1} - 1}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1} - 1}}{2} \ln (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 2.2

$\frac{\sqrt{u_{1} - 1}}{2}$ e $\ln (u_{1})$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1} - 1} \ln (u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u_{1} - 1} \ln (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (u_{1})$ e $d v = \sqrt{u_{1} - 1}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (u_{1}) (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{2}{3}$ e ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (u_{1}) \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 5.2

$\ln (u_{1})$ e $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (u_{1}) (2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 5.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 5.4

$\frac{2}{3}$ e ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{1}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 5.5

Moltiplica $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3 u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 6

Poiché $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}))$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (\ln (| u_{1} |) + C))$

Passaggio 8

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (\ln (| u_{1} |) + C))$ come $\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \ln (| u_{1} |) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \ln (| u_{1} |) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Passaggio 9

Rimuovi le parentesi.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) + C$

Passaggio 10

Riscrivi $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) + C$ come $\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \ln (| u_{1} |)}{3}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (u_{1}) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \ln (| u_{1} |)}{3}) + C$

Passaggio 11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Passaggio 11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $u_{1} - 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(u_{1} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(u_{1} - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Passaggio 11.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Combina i termini opposti in $\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}$ .

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Passaggio 12.1.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2} + 0)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Passaggio 12.1.2

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 1 - 1)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Passaggio 12.1.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2} + 0)}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Passaggio 12.1.4

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3}) + C$

Passaggio 12.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Passaggio 12.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.3.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 12.3.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{2 (\frac{3}{2})} - 2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Passaggio 12.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 12.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{2 (\frac{3}{2})} - 2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Passaggio 12.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 {(x^{2})}^{\frac{3}{2}} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Passaggio 12.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 x^{2 (\frac{3}{2})} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Passaggio 12.3.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 12.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 x^{2 (\frac{3}{2})} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Passaggio 12.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Passaggio 12.3.2

Riordina i fattori in $2 \ln (x^{2} + 1) x^{3} - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} \ln (x^{2} + 1) - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Passaggio 12.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.4.1

Scomponi $2 x^{3}$ da $2 x^{3} \ln (x^{2} + 1) - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

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Passaggio 12.4.1.1

Scomponi $2 x^{3}$ da $2 x^{3} \ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1)) - 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)}{3} + C$

Passaggio 12.4.1.2

Scomponi $2 x^{3}$ da $- 2 x^{3} \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1)) + 2 x^{3} (- 1 \ln (| x^{2} + 1 |))}{3} + C$

Passaggio 12.4.1.3

Scomponi $2 x^{3}$ da $2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1)) + 2 x^{3} (- 1 \ln (| x^{2} + 1 |))$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1) - 1 \ln (| x^{2} + 1 |))}{3} + C$

Passaggio 12.4.2

Riscrivi $- 1 \ln (| x^{2} + 1 |)$ come $- \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} (\ln (x^{2} + 1) - \ln (| x^{2} + 1 |))}{3} + C$

Passaggio 12.4.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |})}{3} + C$

Passaggio 12.5

Combina.

$\frac{1 (2 x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |}))}{2 \cdot 3} + C$

Passaggio 12.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 12.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (2 x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |}))}{2 \cdot 3} + C$

Passaggio 12.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |}))}{3} + C$

Passaggio 12.7

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$\frac{x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |})}{3} + C$

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (\frac{x^{2} + 1}{| x^{2} + 1 |}) + C$