Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} \frac{x - 4}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Non è stato possibile completare questo integrale usando il metodo del cambio di variabili. Mathway userà un metodo diverso.

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (x - 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} (x - 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (x - 4) x^{- 2} d x$

Passaggio 3

Moltiplica $(x - 4) x^{- 2}$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 4

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ .

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Passaggio 4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{1} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{1}^{2} x^{1 - 2} - 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 4.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{- 1} - 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{2} x^{- 1} d x + \int_{1}^{2} - 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 6

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x^{- 2} d x$

Passaggio 7

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1.1

Calcola $\ln (| x |)$ per $2$ e per $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Passaggio 9.1.2

Calcola $- x^{- 1}$ per $2$ e per $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Passaggio 9.1.3

Semplifica.

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Passaggio 9.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Passaggio 9.1.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + 1)$

Passaggio 9.1.3.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Passaggio 9.1.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 \frac{- 1 + 2}{2}$

Passaggio 9.1.3.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (\frac{1}{2})$

Passaggio 9.1.3.6

$- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 4}{2}$

Passaggio 9.1.3.7

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

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Passaggio 9.1.3.7.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Passaggio 9.1.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.1.3.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Passaggio 9.1.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.1.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 2}{1}$

Passaggio 9.1.3.7.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 2$

Passaggio 9.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - 2$

Passaggio 9.3

Semplifica.

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Passaggio 9.3.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) - 2$

Passaggio 9.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\ln (\frac{2}{1}) - 2$

Passaggio 9.3.3

Dividi $2$ per $1$ .

$\ln (2) - 2$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (2) - 2$

Forma decimale:

$- 1.30685281 \dots$

Passaggio 11