Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = e^{x} + 1$ . Allora $d u = e^{x} d x$ , quindi $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = e^{x} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x} + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$e^{x}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = e^{x} + 1$ .

$u_{lower} = e^{0} + 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{lower} = 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = e^{x} + 1$ .

$u_{upper} = e^{1} + 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

$u_{upper} = e + 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e + 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{2}^{e + 1} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{e + 1}$

Passaggio 3

Calcola $\ln (| u |)$ per $e + 1$ e per $2$ .

$(\ln (| e + 1 |)) - \ln (| 2 |)$

Passaggio 4

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| e + 1 |}{| 2 |})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$e + 1$ corrisponde approssimativamente a $3.71828182$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\ln (\frac{e + 1}{| 2 |})$

Passaggio 5.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\ln (\frac{e + 1}{2})$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (\frac{e + 1}{2})$

Forma decimale:

$0.62011450 \dots$