Calcolo Esempi

$\int_{\frac{6}{π}}^{\frac{2}{3 π}} \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{1}{x}$ . Allora $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , quindi $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{1}{x}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{\frac{6}{π}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$u_{lower} = 1 \frac{π}{6}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $\frac{π}{6}$ per $1$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{\frac{2}{3 π}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$u_{upper} = 1 \frac{3 π}{2}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $1$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (u) d u$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (u) d u$

Passaggio 3

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$- (\sin (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}})$

Passaggio 4

Calcola $\sin (u)$ per $\frac{3 π}{2}$ e per $\frac{π}{6}$ .

$- ((\sin (\frac{3 π}{2})) - \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$- (\sin (\frac{3 π}{2}) - \frac{1}{2})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- (- \sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{2})$

Passaggio 6.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- (- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2})$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- (- 1 - \frac{1}{2})$

Passaggio 6.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- (- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 6.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Passaggio 6.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{- 2 - 1}{2}$

Passaggio 6.5.2

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$- \frac{- 3}{2}$

Passaggio 6.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{3}{2}$

Passaggio 6.7

Moltiplica $- - \frac{3}{2}$ .

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Passaggio 6.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2})$

Passaggio 6.7.2

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $1$ .

$\frac{3}{2}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{3}{2}$

Forma decimale:

$1.5$

Forma numero misto:

$1 \frac{1}{2}$