Calcolo Esempi

$\int \ln (\frac{\sqrt{1 - x}}{x + 1}) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = x + 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) d u_{1}$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}})$ e $d v = 1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int u_{1} (- \frac{u_{1} - 4}{(2 u_{1}) (u_{1} - 2)}) d u_{1}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

$u_{1}$ e $\frac{u_{1} - 4}{2 u_{1} (u_{1} - 2)}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int - \frac{u_{1} (u_{1} - 4)}{2 u_{1} (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $u_{1}$ .

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int - \frac{u_{1} (u_{1} - 4)}{2 u_{1} (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int - \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - - \int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + 1 \int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$ per $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} \int \frac{u_{1} - 4}{u_{1} - 2} d u_{1}$

Passaggio 7

Dividi $u_{1} - 4$ per $u_{1} - 2$ .

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Passaggio 7.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$u_{1}$

$2$

$u_{1}$

$4$

Passaggio 7.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $u_{1}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $u_{1}$ .

					$1$
	$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$

Passaggio 7.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$
			+	$u_{1}$	-	$2$

Passaggio 7.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $u_{1} - 2$

				$1$
$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$
			-	$u_{1}$	+	$2$

Passaggio 7.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$
			-	$u_{1}$	+	$2$
					-	$2$

Passaggio 7.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} \int 1 - \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1}$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int - \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1})$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int - \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1})$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1})$

Passaggio 11

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - (2 \int \frac{1}{u_{1} - 2} d u_{1}))$

Passaggio 12

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - 2 \int \frac{1}{u_{1} - 2} d u_{1})$

Passaggio 13

Sia $u_{2} = u_{1} - 2$ . Allora $d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 13.1

Sia $u_{2} = u_{1} - 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 13.1.1

Differenzia $u_{1} - 2$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 2]$

Passaggio 13.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $u_{1} - 2$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

Passaggio 13.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

Passaggio 13.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 13.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 13.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 14

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - 2 (\ln (| u_{2} |) + C))$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Semplifica.

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} - 2 \ln (| u_{2} |)) + C$

Passaggio 15.2

Riscrivi $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} - 2 \ln (| u_{2} |)) + C$ come $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$ .

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 15.3

Semplifica.

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Passaggio 15.3.1

Per scrivere $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 15.3.2

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} \cdot 2}{2} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 15.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} \cdot 2 + u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 15.3.4

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1}$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 16

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 16.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 1$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- (x + 1) + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 16.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $u_{1} - 2$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- (x + 1) + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| u_{1} - 2 |) + C$

Passaggio 16.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 1$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- (x + 1) + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

Passaggio 17

Semplifica.

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Passaggio 17.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x - 1 \cdot 1 + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

Passaggio 17.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x - 1 + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

Passaggio 17.3

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x + 1}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

Passaggio 17.4

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x + 1}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x - 1 |) + C$

Passaggio 18

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} (2 \ln (\frac{\sqrt{- x + 1}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1) - \ln (| x - 1 |) + C$