Calcolo Esempi

$\int \frac{h^{3} {(2 h^{4} - 2)}^{5}}{4} d h$

Passaggio 1

Sia $u = 2 h^{4} - 2$ . Allora $d u = 8 h^{3} d h$ , quindi $\frac{1}{8} d u = h^{3} d h$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 h^{4} - 2$ . Trova $\frac{d u}{d h}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 h^{4} - 2$ .

$\frac{d}{d h} [2 h^{4} - 2]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 h^{4} - 2$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [2 h^{4}] + \frac{d}{d h} [- 2]$ .

$\frac{d}{d h} [2 h^{4}] + \frac{d}{d h} [- 2]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d h} [2 h^{4}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $2 h^{4}$ rispetto a $h$ è $2 \frac{d}{d h} [h^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d h} [h^{4}] + \frac{d}{d h} [- 2]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$2 (4 h^{3}) + \frac{d}{d h} [- 2]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 h^{3} + \frac{d}{d h} [- 2]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $h$ è $0$ .

$8 h^{3} + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $8 h^{3}$ e $0$ .

$8 h^{3}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{u^{5}}{4} \cdot \frac{1}{8} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{u^{5}}{4}$ per $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{u^{5}}{4 \cdot 8} d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $4$ per $8$ .

$\int \frac{u^{5}}{32} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{32}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{32}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{32} \int u^{5} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{5}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{32} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\frac{1}{32} (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ come $\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$ .

$\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\frac{1}{32} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C$ come $\frac{1}{192} u^{6} + C$ .

$\frac{1}{192} u^{6} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 h^{4} - 2$ .

$\frac{1}{192} {(2 h^{4} - 2)}^{6} + C$