Calcolo Esempi

$\int \sqrt{\cos (6 x)} \sin (6 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \cos (6 x)$ . Allora $d u_{2} = - 6 \sin (6 x) d x$ , quindi $- \frac{1}{6} d u_{2} = \sin (6 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \cos (6 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\cos (6 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $6 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $6 x$ .

$- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 6 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 6 \sin (6 x) \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$- 6 \sin (6 x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \sqrt{u_{2}} \frac{1}{- 6} d u_{2}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \sqrt{u_{2}} (- \frac{1}{6}) d u_{2}$

Passaggio 2.2

$\sqrt{u_{2}}$ e $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{\sqrt{u_{2}}}{6} d u_{2}$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{6} d u_{2}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{6} \int \sqrt{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{2}}$ come ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $- \frac{1}{6} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$ come $- \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.2

Riscrivi $- \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ come $\frac{- 1}{9} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{- 1}{9} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{9} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (6 x)$ .

$- \frac{1}{9} {\cos (6 x)}^{\frac{3}{2}} + C$