Calcolo Esempi

$\int \frac{4 x}{5 {(6 x^{2} - 7)}^{\frac{2}{3}}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 6 x^{2} - 7$ . Allora $d u = 12 x d x$ , quindi $\frac{1}{12} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 6 x^{2} - 7$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $6 x^{2} - 7$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} - 7]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 7]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $12 x$ e $0$ .

$12 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{4}{5 u^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{12} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{4}{5 u^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{1}{12}$ .

$\int \frac{4}{5 u^{\frac{2}{3}} \cdot 12} d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $12$ per $5$ .

$\int \frac{4}{60 u^{\frac{2}{3}}} d u$

Passaggio 2.3

Scomponi $4$ da $4$ .

$\int \frac{4 (1)}{60 u^{\frac{2}{3}}} d u$

Passaggio 2.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.4.1

Scomponi $4$ da $60 u^{\frac{2}{3}}$ .

$\int \frac{4 (1)}{4 (15 u^{\frac{2}{3}})} d u$

Passaggio 2.4.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{4 \cdot 1}{4 (15 u^{\frac{2}{3}})} d u$

Passaggio 2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{15 u^{\frac{2}{3}}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{15}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{15}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{15} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $u^{\frac{2}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{15} \int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{15} \int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Passaggio 4.2.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{15} \int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{15} \int u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Passaggio 4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{15} \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{2}{3}}$ rispetto a $u$ è $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{15} (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{15} (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$ come $\frac{1}{15} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ .

$\frac{1}{15} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

Passaggio 6.2

Riscrivi $\frac{1}{15} \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ come $\frac{1}{5} u^{\frac{1}{3}} + C$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{3}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x^{2} - 7$ .

$\frac{1}{5} {(6 x^{2} - 7)}^{\frac{1}{3}} + C$