Calcolo Esempi

$\int_{- \frac{π}{4}}^{0} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = \sec (x)$ . Allora $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \sec (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \sec (x)$ .

$u_{lower} = \sec (- \frac{π}{4})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$u_{lower} = \sec (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 1.3.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$u_{lower} = \sec (\frac{π}{4})$

Passaggio 1.3.3

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{4})$ è $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 1.3.5

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.3.5.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 1.3.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 1.3.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 1.3.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.3.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 1.3.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.3.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.3.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.3.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 1.3.5.6.5

Calcola l'esponente.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1.3.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 1.3.6.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{2}$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \sec (x)$ .

$u_{upper} = \sec (0)$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{\sqrt{2}}^{1} u d u$

Passaggio 2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{1}$

Passaggio 3

Semplifica cancellando l'esponente con il radicale.

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Passaggio 3.1

Calcola $\frac{1}{2} u^{2}$ per $1$ e per $\sqrt{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Passaggio 3.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 3.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 3.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{1}$

Passaggio 3.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.4.1.2

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 2}{2}$

Passaggio 3.4.1.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

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Passaggio 3.4.1.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Passaggio 3.4.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.4.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Passaggio 3.4.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1}$

Passaggio 3.4.1.3.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} - 1$

Passaggio 3.4.2

Semplifica.

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Passaggio 3.4.2.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.4.2.2

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.4.2.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1 - 2}{2}$

Passaggio 3.4.2.4.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Passaggio 3.4.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimale:

$- 0.5$