Calcolo Esempi

$\int \frac{\ln (x + 4)}{x + 4} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = x + 4$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = x + 4$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , quindi $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 4

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (u_{1}) + C$

Passaggio 4.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 4$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x + 4) + C$