Calcolo Esempi

$\int 3 x^{5} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{3} + 1$ . Allora $d u = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{3} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int {\sqrt[3]{u - 1}}^{3} \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Semplifica cancellando l'esponente con il radicale.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{u - 1}}^{3}$ come $u - 1$ .

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Passaggio 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u - 1}$ come ${(u - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int {({(u - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} \sqrt{u} d u$

Passaggio 2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} \sqrt{u} d u$

Passaggio 2.1.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\int {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \sqrt{u} d u$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \sqrt{u} d u$

Passaggio 2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int {(u - 1)}^{1} \sqrt{u} d u$

Passaggio 2.1.5

Semplifica.

$\int (u - 1) \sqrt{u} d u$

Passaggio 2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Espandi $(u - 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3.6

Somma $2$ e $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} + 1$ .

$\frac{2}{5} {(x^{3} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} {(x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$